10 abril 2010

EL HELECHO DE BARNSLEY

No es la primera vez que escribo sobre el apasionante mundo de los fractales, tanto en la naturaleza como en las matemáticas.

Sin embargo, podemos construirnos nuestro propio fractal, casi aleatorio, empleando una simple moneda. El resultado puede ser una cosa rara o, si tienes suerte una binita estructura en forma de árbol o helecho...

Existe un sencillo juego que requiere algo de paciencia, pero con el que se pueden obtener resultados sorprendentes. Para ponerlo en práctica bastan una h
oja de papel cuadriculado, un lápiz y una moneda. Se marca un punto en el papel como origen del juego, por ejemplo, la cuadrícula del centro. Luego se decide una ley: si sale cara se cuentan dos cuadrículas a la izquierda y se rellena la siguiente; si sale cruz se rellena la cuadrícula inmediata inferior. Las reglas se pueden complicar a gusto personal, por ejemplo se puede decidir que si sale cara dos veces seguidas se dirige el lápiz hacia el norte dos cuadrículas y tres a la derecha. No importa, el caso es que después de un cierto número de tiradas aparecerá un dibujo en el papel.

Se puede uno llevar muchas sorpresas, a lo mejor aparece una flor o un árbol. En el dibujo ha intervenido el azar, pero hemos marcado unas mínimas reglas, algo que también hace la naturaleza para desarrollar sus estructuras. Un sencillo programa de ordenador nos puede facilitar la tarea para realizar, en un momento, mil o dos mil lanzamientos de moneda. Algo parecido a esto es lo que hizo Barnsley y ¡obtuvo un precioso helecho tropical!



Naturaleza fractal

La naturaleza ofrece multitud de ejemplos de estructuras fractales, especialmente en el crecimiento de los árboles y las plantas. Observando el helecho tropical vemos que en cualquiera de sus ramas tenemos una réplica exacta de la planta completa. Y en cualquiera de sus partes, por pequeña que sea, encontraremos una réplica exacta del helecho, como una infinidad de pequeños bonsáis que son réplicas exactas del original.

Geometría fractal del árbol bronquial. Radiografías seriadas del árbol bronquial de un mamífero. En la esquina derecha, abajo, molde acrílico de la vía aérea completa de un pequeño roedor.

Esta propiedad de autosimilitud es precisamente la que define una estructura fractal. En general, la obtención de un objeto fractal obedece a reglas Matemáticas muy simples, a funciones iterativas que consisten en aplicar siempre la misma transformación a cada nueva imagen que obtenemos.

El azar ordenado

Observemos ahora el helecho. Parece claro que, partiendo de una sola copia, es decir, de una cualquiera de sus ramas, podemos configurar todo el helecho mediante transformaciones geométricas simples. Podemos girar la hoja para obtener una copia al otro lado del tallo, luego hacerla más pequeña y trasladarla hacia arriba, y también podemos contraer toda la copia sobre la parte superior del tallo para obtener éste. Estas cuatro transformaciones, a la que podemos nombrar como

T1 : Traslación

T2 : Rotación

T3 : Escalado (contracción)

T4 : Compresión sobre el tallo

pueden tomarse como las cuatro reglas necesarias para la construcción del helecho. Y aquí es cuando, de manera un tanto asombrosa, interviene el azar.

Otra forma de construir nuestro fractal, bajo la influencia del azar:

Tomemos una bolsa con cuatro bolas iguales, en cada una de las cuales está escrito uno de los símbolos T1 T2 T3 y T4 . Dibujamos un punto en un plano, sacamos una bola y le aplicamos la transformación. Marcamos en el plano el punto obtenido, sacamos de nuevo una bola para obtener otro nuevo punto y así sucesivamente. Sobre el papel irá apareciendo una “caótica” nube de puntos que, poco a poco, se irá pareciendo cada vez más al helecho tropical. Este fue el sorprendente resultado con el que se encontró Michael F. Barnsley, un matemático investigador de IBM, y que le llevó a pensar en la posibilidad de aplicar este método para obtener un ingenioso sistema de compresión de imágenes.

La compresión fractal

Las imágenes que aparecen en la pantalla de un ordenador están formadas por pequeños puntos (en realidad, diminutos cuadrados) de colores que reciben el nombre de píxeles. Una fotografía de resolución media a toda pantalla puede contener del orden de diez millones de estos puntos. Se entiende, pues, que enviar semejante información mediante impulsos eléctricos a través de una línea telefónica, que es lo que hace un módem, exige algún tipo de compresión de la imagen.

Existen en el mercado diferentes tipos de compresores (MPG, GIF, etc…). Barnsley observó que en cualquier imagen hay siempre conjuntos de píxeles que se repiten, guardando entre ellos la autosimilitud propia de los fractales y que por tanto, podrían se reconstruidos mediante reglas sencillas, partiendo de un reducido número de puntos.

Ya hemos visto cómo con un solo punto y un grupo de cuatro instrucciones se podía generar un helecho: un volumen de información ostensiblemente más pequeño que el formado por todo el conjunto de puntos que forman el helecho. En síntesis, el método ideado por Barnsley para la compresión de imágenes consistía en confeccionar una lista con todos aquellos grupos de puntos que presentaban autosimilitud, junto con las instrucciones necesarias para generarlos.

Patentar una fórmula matemática

Barnsley había encontrado un sistema de codificación que podía competir con los mejores compresores de imágenes del mercado y patentó el invento; Acababa de nacer la «compresión fractal». En 1987 Michael Barnsley fundó la empresa Iterated Systems y al poco aparecía en el mercado la famosa enciclopedia Encarta que Microsoft suministra en CD-ROM, en la que todos los miles de imágenes que contienen están comprimidas por el método de Barnsley.

Al principio el mercado se mostró indiferente al invento de la compresión fractal, se consideraba que los matemáticos sobre valoraban el posible valor comercial de los fractales. Cuando Barnsley montó su propia empresa, pasó a engrosar la pequeña lista de ejemplos en los que se ponía de manifiesto cómo un hallazgo matemático puede convertir en millonario a su autor.

Detrás de todo esto subyace una interesante teoría: Orden y Caos...

Algún día escribiré sobre ella y volverán los fractales...

Ismael


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