Constante Omega (Ω) de Chaitin: Cuando Gödel se encuentra con el infinito
“La verdad es que me interesa todo: qué es la vida, qué es la consciencia, si hay aleatoriedad en el universo, si son continuos o discretos el espacio y el tiempo. Para mí, las matemáticas no son más que una herramienta básica de la filosofía, representan una vía para esclarecer ideas, para captarlas, para construir modelos, ¡para alcanzar el entendimiento! Como dijo Leibniz, sin las matemáticas no se entiende realmente la filosofía, sin la filosofía no se entienden de verdad las matemáticas, y sin ninguna de las dos, no se entiende nada de nada. O, al menos, éste es mi credo y así es como trabajo.”
El texto anterior aparece citado en el prólogo del libro “El número Omega” de Gregory Chaitin (1947-)
Un ordenador ¿es capaz de pensar?
En 1950, Alan Turing dio una respuesta a esa pregunta: un ordenador era capaz de «pensar» si sus resultados eran tan convincentes que una persona que interactuara con él no pudiese distinguir sus respuestas dadas por la máquina y las respuestas dadas por un ser humano: Prueba o test de Turing.
Este concepto ha vuelto a cobrar relevancia actualmente, ya que algunos sostienen que las nuevas generaciones de Inteligencia Artificial superan este test de Turing.
Constante de Chaitin
En 1970, el matemático argentino-estadounidense Gregory Chaitin introdujo esta constante. Se trata de un concepto fascinante dentro de la ciencia de Teoría de la Información. Se representa mediante la letra Ω (omega).
Para conocer Ω tenemos que considerar el llamado “problema de la parada” de Turing.
Este problema establece que no existe un algoritmo general (secuencia ordenada, finita y definida de pasos, instrucciones o reglas lógicas que permiten solucionar un problema, realizar un cálculo o ejecutar una tarea específica) que pueda determinar, para todos los programas posibles, si se detendrán o seguirán ejecutándose indefinidamente.
Surge la pregunta: ¿Qué ocurriría si introdujéramos una secuencia aleatoria de bits en el programa de una máquina de Turing? (cualquier artefacto programable de manejo de símbolos abstractos, de preferencia lógicos, que puede simular la lógica de una computadora). Cuando el programa comience ¿cuál sería la probabilidad de que la máquina se detenga? Dado un programa cualquiera y una entrada cualquiera, ¿podemos saber siempre si ese programa terminará o se quedará ejecutándose para siempre (bucle infinito)?”
Alan Turing demostró que no: No existe un método universal que pueda decidirlo para todos los programas posibles.
La respuesta es precisamente la constante Omega. El número depende de la máquina, pero en una máquina dada Omega es un número irracional bien definido con un valor que se sitúa entre 0 y 1. Para la mayoría de las computadoras Omega es un valor cercano a 1
Es un número comprendido entre 0 y 1: 0 < Omega < 1
La constante, Ω, representa la probabilidad de que un programa informático elegido al azar se detenga (es decir, termine su ejecución) cuando se ejecuta en una máquina universal de Turing. Los bits decimales/binarios de Ω contienen información sobre todos los programas posibles.
Lo sorprendente de Ω es que es un número perfectamente definido, pero al mismo tiempo es profundamente indescifrable. A pesar de que su definiciòn es clara, su expresión en sistema binario (0 y 1) es esencialmente aleatoria. No existe ningún método computacional que permita calcular todos sus dígitos; de hecho, conocer suficientes bits de Ω equivaldría a resolver el problema de la parada para una gran cantidad de programas, lo cual es imposible en general.
Existe una constante de Chaitin para cada máquina de Turing.
“Machines take me by surprise with great frequency”, Alan Turing
Otra característica notable de la constante de Chaitin es su relación con la aleatoriedad. En Teoría de la información algorítmica, un objeto se considera aleatorio si no puede comprimirse en una descripción más corta que él mismo. Los dígitos de Ω cumplen esta propiedad: no hay una fórmula más simple que permita generarlos sin reproducirlos directamente. En este sentido, Ω es un ejemplo puro de número “algorítmicamente aleatorio”.
O sea, el número Ω es un número incompresible (no se puede comprimir) e incomprensible (no se puede comprender); esto se puede interpretar de dos maneras en palabras del propio Chaitin:
Según la visión pesimista, es “un indicador de los límites del conocimiento humano”.
Según la visión optimista, que es la interpretación que prefiere Gregory Chaitin, “Omega revela que no se pueden realizar matemáticas de manera mecánica, y que la intuición y la creatividad son esenciales”.
Además, Ω muestra una conexión profunda entre matemáticas, computación y filosofía. Tradicionalmente, se pensaba que las matemáticas eran un sistema completamente determinista, donde toda verdad podía demostrarse a partir de axiomas. Sin embargo, la existencia de Ω sugiere que hay verdades matemáticas que son verdaderas sin razón aparente, en el sentido de que no pueden derivarse de un sistema formal dado. Esto está relacionado con los teoremas de incompletitud de Gödel, pero desde una perspectiva cuantitativa: Ω mide cuánta información no demostrable existe dentro de un sistema formal.
Gregory Chaitin se encargó de probar que la secuencia de dígitos de Omega no tiene un patrón definido, que Omega se puede definir pero no es completamente calculable y que tiene infinitos dígitos. Omega tiene implicaciones enormes y establece límites de lo que podemos y no podemos hacer en ciertas áreas de la información. Chaitin se inspiró en el teorema de la incompletitud de Gödel para encontrar este constante tan fascinante.
Cabe destacar que no hay una única constante de Chaitin. Su valor depende de la máquina universal de Turing elegida como referencia. Diferentes elecciones producen diferentes valores de Ω, pero todas comparten las mismas propiedades fundamentales: son números reales entre 0 y 1, no computables y algorítmicamente aleatorios.
Donde:
P es el conjunto de todos los programas que se detienen (no entran en bucle infinito). |p| es el tamaño en bits del programa p.
La suma (2-|p|) asegura que la probabilidad total esté normalizada entre 0 y 1.
La constante de Chaitin es una manifestación moderna de los Toremas de incompletitud de Gödel y el problema de la parada de Turing. Muestra que existen hechos matemáticos (los dígitos de Ω) que son verdaderos pero que no pueden ser demostrados ni calculados dentro de un sistema formal.
Una de las consecuencias más interesantes es: Conocer suficientes bits de Ω permitiría resolver infinitos casos del problema de la parada.
En resumen, la constante de Chaitin es mucho más que un número: es una ventana hacia los límites del conocimiento matemático y computacional. Nos muestra que incluso en sistemas formales rigurosos existen barreras insuperables para la predicción y la comprensión total. En este sentido, Ω no solo es un objeto matemático, sino también una poderosa metáfora de la complejidad y el misterio inherentes al universo de la información.
Ismael Camarero S.
Para saber más:
Test de Turing e Inteligencia Artificial: Does GPT-4 pass the Turing test?
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