Conjetura del panal de abeja
La conjetura del panal de abeja era una conjetura hasta que se demostró y se convirtió en teorema matemático que afirma que un teselado hexagonal (retícula en forma de panal de abeja) es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área y con el mínimo perímetro total.
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Esta conjetura, que ha provocado al curiosidad de muchos matemáticos a lo largo de los tiempos y permanecía sin demostrar desde la fecha de su planteamiento por Pappus de Alejandría (c. 290 - c. 350), fue finalmente resuelta en 1999 por el matemático Thomas C. Hales (1958), de la Universidad de Pittsburg.
En primer lugar debemos definir qué es un teselado:
Los términos teselaciones y teselado hacen referencia a una regularidad o patrón de figuras que recubren o pavimentan completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:
- Que no queden espacios.
- Que no se superpongan las figuras.
Los teselados se crean usando copias isométricas (las transformaciones isométricas son cambios de posición (orientación) de una figura determinada que NO alteran la forma ni el tamaño de ésta) de una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir enteramente una superficie.
Distintas culturas a lo largo de la historia han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.
Ejemplo de teselación árabe: https://www.geogebra.org/m/hEeZtQea
Volvemos con el teorema del panal de abejas:
La conjetura del panal de abejas, se pregunta cuál es la forma que deben tener las celdas, todas iguales, con la que dividir una superficie de modo que la longitud de sus lados sea mínima.
En el siglo I a.C., Marco Terencio Varro afirmaba (un poco alegremente) lo siguiente: ¿No tienen seis lados las habitaciones de las abejas, tantos como patas? Los geómetras han probado que este hexágono inscrito en una circunferencia encierra la mayor área.
Cinco siglos después, Pappus de Alejandría precisó esta frase afirmando que, de las tres formas con las que puede rellenarse una superficie plana mediante polígonos regulares (triángulos, cuadrados y hexágonos), las abejas eligieron el diseño que permite almacenar la mayor cantidad de miel.
En otro campo: las porterías de fútbol tienen forma de retículo hexagonal y no cuadrado ya que la cantidad de hilo necesario para tejerlas es menor.
El teorema del panal de abeja afirma que un teselado hexagonal (muchos hexágonos juntos, como un panal de abejas) es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área y con el mínimo perímetro total.
Una expresión matemática de este teorema podría ser:
Teorema
Sea Γ un gráfico localmente finito en R 2 , que consta de curvas suaves, y tal que R 2 \ Γ tiene un número infinito de componentes conectados acotados, todos de área unitaria. Sea C la unión de estos componentes acotados.
![{\ displaystyle \ limsup _ {r \ to \ infty} \ {\ frac {\ operatorname {perimeter} (C \ cap B (0, r))} {\ operatorname {area} (C \ cap B (0, r ))}} \ geq {\ sqrt [{4}] {12}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d82affdbeb974ee3da6c033bad8df3f4edfa8d0)
La igualdad se logra con la baldosa hexagonal regular.
Por cierto: ¿Se han fijado en la forma de los espejos del telescopio James Webb?
Ismael Camarero
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Para saber más:
https://www.abc.es/ciencia/abci-cuatro-verdades-matematicas-no-como-creia-201807232147_noticia.html
https://naukas.com/2017/03/29/sobre-abejas-matematicas-y-pompas-de-jabon/
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