Círculos de Descartes
Este problema geométrico ha sido abordado desde hace cientos de años. En la grecia antigua, del siglo III a. C. Apolonio de Perga dedicó un libro entero al tema, lamentablemente el libro llamado Sobre tangencias, no está entre sus obras sobrevivientes.
René Descartes abordó el problema en 1643, en una carta a la princesa Isabel I de Bohemia. Da una solución al problema, y por lo tanto, se atribuye su nombre al teorema.
Frederick Soddy (químico, matemático, economista, poeta) redescubrió en 1936 la solución, por lo cual, este problema es a veces conocido como los círculos besadores de Soddy , porque Soddy escogió para publicar su versión del teorema en la forma de un poema titulado The Kiss Precise, publicado en la revista Nature (20 de junio de 1936). Soddy también extendió el teorema de las esferas (*)
Se trata de un problema clásico de geometría, abordable desde diferentes puntos de vista: programación infomática, arte, simuladores...
El asunto procede de la poesía "The kiss precise" :
El beso preciso (Sir Frederic Soddy, 1937)
Pueden besarse los labios, dos a dos, sin mucho calcular, sin trigonometría; mas ¡ay! no sucede igual en geometría, pues si cuatro círculos tangentes quieren ser y besar cada uno a los otros tres, para lograrlo habrán de estar los cuatro o tres dentro de uno, o alguno por otros tres a coro rodeado. De estar uno entre tres, el caso es evidente pues son todos besados desde afuera. Y el caso tres en uno no es quimera, al ser éste uno por tres veces besado internamente.
Cuatro círculos llegaron a besarse, cuanto menores tanto más curvados, y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. Aunque este enigma a Euclides asombrara, ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas, la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas es igual a un medio del cuadrado de su suma.
Espiar de las esferas los enredos amorosos pudiérale al inquisidor requerir cálculos tediosos, pues siendo las esferas más corridas, a más de un par de pares una quinta entra en la movida. Empero, siendo signos y ceros como antes para besar cada una a las otras cuatro, el cuadrado de la suma de las cinco curvaturas ha de ser triple de la suma de sus cuadrados.
Y su representación gráfica:
Descartes afirmó el resultado sólo para el caso en el que las cuatro circunferencias sean tangentes exteriormente entre sí, pero hoy se enuncia el teorema incluyendo el caso en el que una de las circunferencias contenga a las otras de la siguiente forma:
Sean
cuatro circunferencias, cada una de ellas tangente a las otras tres, y sea 
el radio de 
.Entonces si
cuando las otras circunferencias son tangentes exteriormente a , y 
si las otras circunferencias son tangentes interiormente a , resulta que
No voy a hacer ninguna demostración. He trabajado, hace tiempo, en la edición de un programa en lenguaje C que resolvía este problem.
En la última parte del poema, Soddy generaliza el teorema de Descartes al caso de cinco esferas: se habla del sexteto de Soddy, un collar de seis esferas, cada una tangente a sus dos vecinas más cercanas y a otras 3 esferas mutuamente tangentes. Dos de estas 3 esferas son tangentes entre sí y están inscritas en una gran esfera, formando una garganta en donde se encuentra el collar inicial.
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(*) Soddy (1877-1956) recibió el Nobel de Química en 1921 por sus trabajos sobre la química de las sustancias radiactivas y sus investigaciones sobre el origen y la naturaleza de los isótopos.
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