19 enero 2010

El Símbolo Perdido o los cuadrados mágicos

Acabo de terminar el libro "El símbolo perdido" de Dan Brown (autor de: La fortaleza digital, Ángeles y demonios, La conspiración, El código da Vinci). Esta última entrega, más de lo mismo, engancha al lector desde el principio. La unidad de acción tiene una duración real de 11 horas, con un ritmo trepidante, inigualable. Pero contiene demasiadas semejanzas con "El código da Vinci": pareja de buenos, malo muy muy malo, policías en medio, entorpeciendo la labor de los protagonistas. Historias llenas de simbolismos antiguos, que presentan organizaciones casi secretas (Opus Dei en el Código da Vinci y masones en esta obra). La accion transcurre en lugares emblemáticos (Paris, Washington). El autor juega con la ciencia, a veces con errores. Sin embargo, siempre despierta interrogantes en el lector.

En "El símbolo perdido" interviene un elemento matemático muy antiguo: los cuadrados mágicos. Dan Brown juega con el "cuadrado de Franklin" de orden 8, y mediante un juego de palabras "Franklin Square" se convierte en la plaza del mismo nombre de Washintong, clave para desvelar el misterio de la obra.

¿Pero qué es un cuadrado mágico?

Los cuadrados mágicos son estructuras numéricas situadas en una tabla de n filas por n columnas, por lo cual, n se denomina orden del cuadrado. Tienen la particularidad de que la suma de cada una de sus filas es la misma que la de cada una de sus columnas y las diagonales (esta suma recibe el nombre de "constante mágica").

Un cuadrado de orden 3 sería:

8

1

6

3

5

7

4

9

2


en el que la suma aludida es 15.

La técnica de construcción es tanto más compleja cuanto más alto sea n. Si n es impar, es facil, mediante un truco geométrico:

Imaginemos el cuadrado mágico de 5x5. Contendrá los números de 1 al 25. La suma de las filas, columnas y diagonales será 65. El cuadrado mágico será la parte amarilla del siguiente dibujo. Sobre cada un de sus lados constuimos dos filas más: una de tres y otra de un cuadro.
Empezando en A, hacia C, colocamos los números 1, 2, 3, 4 y 5. Volvemos a A y en la diagonal inferior, paralela a la anterior, seguimos colocando los números 6, 7... Asi sucesivamente hasta que el 25 lo colocamos en el cuadro dela posicion D. Ahora tenemos ya colocados los números de la zona amarilla: 11, 7, 3, 2, 8... fuera del cuadrado de 5x5 permanecen el 1, 6, 2, 16, 4... que vamos a colocar en sus posiciones según las flechas marcadas para el 1, 16 y 24. Si hacemos esto para todos los números colocados fuera del cuadrado amarillo de 5x5, obtenemos:
Cuadrado de oreden 5 que cumple las condiciones de los cuadrados mágicos. El mismo método puede emplearse para cualquier cuadrado de orden impar. Para los de orden par, el asunto es diferente.

Algunos ejemplos de cuadrados mágicos

Cuadrado mágico en tablero de ajedrez, de 8x8. La suma de los elementos es 260:

37

27

34


32

25

39

30

36

20

46

18

48

41

23

43

21

52

14

55

9

16

50

11

53

4

62

2

64

57

7

59

5

60

3

63

8

1

58

6

61

13

51

15

49

56

10

54

12

45

22

42

17

24

47

19

44

29

35

31

33

40

26

38

28


Cuadrado mágico apocalíptico. Compuesto sólo por números primos (divisibles sólo por sí mismo y por uno):

3

107

5

131

109

311

7

331

193

11

83

41

103

53

71

89

151

199

113

61

97

197

167

31

367

13

173

59

17

37

73

101

127

179

139

47


La suma de sus elementos es 666.

Cuadrado mágico doble: Contiene en su interior un cuadrado mágico de orden inferior:

3

4

21

22

25

20

18

11

16

10

23

13

15

17

7

24

14

19

12

6

5

26

9

8

27


La importancia y el misterio de los cuadrado mágicos no han pasado inadvertidas para el arte. Aprovechado el comentario sobre el "El símbol perdido" del inicio de este post... en un momento clave del libro aparece un cuadro de Alberto Durero. Se trata de un enigmático grabado en el que aparece un gran ángel, rodeado de elementos variopintos (perro, angelote, campana, escalera, reloj de arena...):


He coloreado de verde la parte de atrás, en donde aparece un cuadrado mágico interesante:
tiene la particularidad de que en la fila inferior ha colocado en 15 y el 14, que, juntos, generan el año en el que la obra fue creada: 1514. Si lees "El símbolo perdido", verás la importancia de este cuadrado mágico.

Y, en España no podemos olvidar una grandiosa obra de un arquitecto transcendental... ¡cómo no! ¡¡Gaudí!!. En el templo de la Sagrada Familia, iniciada en 1882 y aún en construcción (con un nuevo estilo del que habría mucho que hablar), se ha incorporado este elemento:


Se trata de una escultura que representa el Beso de Judas mediante el que éste apóstol entregó a Jesucristo. El cuadrado mágico incorporado es:


¿Qué significado tiene este cuadrado en ese lugar? La constante mágica (suma de elementos), es, como se podía esperar, 33, la edad de la muerte de Cristo.

Pero ¡cuidado!... este cuadrado no "es legal"... Están repetidos el 14 y el 10. El motivo es que el 16 y el 12 estan disminuidos en dos unidades y no parecen. Con esto se consigue que la suma sea 33. Claro, que... cuando leas el citado libro, podrá comprobar el profundo significado que tiene el 33 en la masonería.

Un poco de historia:

Las más antiguas noticias sobre cuadrados mágicos provienen de la China. Una leyenda cuenta que el primer cuadrado mágico fue revelado a un hombre por el caparazón de una enorme tortuga que emergió de las aguas del río Lo, muchos años antes de Cristo.

Se tienen noticias del más místico de los cuadrados mágicos de los chinos, del siglo IV antes de Cristo. Se lo llamó lu shu y es un cuadrado de 3 x 3 casillas en las cuales lconstante mágica es 15. Los chinos dieron un entorno místico a esa figura pues asignaron, a los números, los principios básicos de la vida: los números pares simbolizaron el principio yin, de lo femenino, y los impares el principio yang, de lo masculino.

El centro del cuadrado es el equilibrio, que pertenece tanto a las filas y las columnas como a las diagonales. Simboliza la Tierra. En los lados se representan los cuatro elementos principales: los metales (4 y 9), el fuego (2 y 7), el agua (1 y 6) y la madera (3 y 8).

La magia o el misticismo que cubrían esas figuras llegaron a niveles realmente sorprendentes; así, en los siglos XVI y XVII se creía que un cuadrado mágico grabado sobre una pequeña chapa de plata tenía poderes contra la peste.

En el Renacimiento se utilizaron cuadrados mágicos con fines terapéuticos. Por esto, como amuleto para ahuyentar la melancolía, los astrólogos de la época “recetaban” cuadrados mágicos de cuarto orden (de cuatro filas y cuatro columnas).

Otros tipos de cuadrados mágicos no corrieron la misma suerte pues era de mal augurio estar en posesión de ellos. Algunos eran “diabólicos” pues, al intercambiar algunas filas o columnas, se mantienen sus propiedades.

Otros eran “satánicos” porque seguían siendo un cuadrado mágico cuando se elevaba cada uno de sus números al cuadrado o al cubo.

Con el tiempo, la teoría de los cuadrados mágico ha evolucionado hacia algo mucho más popular y ameno, el sudoku:

Orígenesdel sudoku: En los años 70, la revista neoyorquina Dell Magazines (Math Puzzles and Logic Problems ) revivió la magia de los cuadrados mágicos proponiendo un pasatiempo que consiste en llenar un cuadrado de 9 x 9 casillas con números del 1 al 9, de tal forma que no se repitan en ninguna fila ni columna. La novedad consistió en establecer que cada uno de los 9 subcuadrados formados también contasen con los números del 1 al 9.

En 1984, Nikoli, una compañía japonesa dedicada a la publicar pasatiempos, tomó la idea de Dell Magazines y la presentó como un rompecabezas. El juego fue bautizado Suuji Wa Dokushin Ni Kagiru (Los números deben ser únicos), y en muy poco tiempo se hizo popular en el Japón. Pronto llegaron las mejoras en la determinación del tipo y la cantidad de instrucciones requeridas para resolver el juego. Así, en 1986 se establecieron diferentes grados de dificultad, y el juego se tornó cada vez más popular.

El paso siguiente fue comercializar adecuadamente el juego, que fue de nuevo bautizado como ‘sudoku’.

Ese término japonés involucra dos palabras: su (número o dígito) y doku (único). El éxito fue tal que hoy se calcula una publicación mensual de 600.000 ejemplares de revistas de sudoku en el Japón.

En el 2004 se creó un programa informático que genera sudokus. Fue un momento clave para el rompecabezas pues ahora se tienen grandes cantidades disponibles de sudokus de diferentes grados de dificultad: sudokus “a la medida” .

También en el 2004, The Times de Londres publicó su primer sudoku; pronto lo siguieron diarios de Gran Bretaña, Australia y Nueva Zelanda. En abril del 2005, el sudoku completó el círculo volviendo a Manhattan, cuyo New York Post lo publica habitualmente. El 11 de julio del 2005, The Daily News y USA Today colocaron simultáneamente su primer sudoku, que sustituyó a los crucigramas tradicionales.

Si quieres saber más sobre cuadrados mágicos o practricar en su construcción, te dejo unos enlaces:

Ejercicios. Aqui tienes las soluciones.

Enlace 2.

Ismael

1 comentario:

Anónimo dijo...

Post llamativo y oportuno. Leí El símbolo perdido y me sorprendió por el uso de este tipo de elementos matemáticos. Muy interesantes tus comentarios
A.J.