Paradoja de Braess y autopistas

La Paradoja de Braess, descrita por primera vez por el matemático Dietrich Braess en 1968, plantea que en ocasiones la adición de una carretera en una red de tránsito congestionada puede disminuir el rendimiento total de la red en lugar de mejorarlo, aumentando el tiempo de viaje de los conductores. Este fenómeno ha sido exhaustivamente estudiado en diferentes sistemas de tránsito y se han encontrado analogías del mismo en sistemas industriales, eléctricos y determinados sistemas biológicos, en estrategias de equipo y en redes neuronales artificiales.

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La paradoja de Braess describe que, en una  red de carreteras en la que una teórica mejora produce, sorprendentemente, que los tiempos de recorrido de los vehículos aumenten.

Este principio fue descubierto por el matemático Dietrich Braess (1938-) en 1968 y se conoce como la paradoja Braess.

Supongamos el siguiente diagrama de carreteras entre dos lugares A y B. Las líneas rojas representan carreteras de alta velocidad (autopistas). Las amarillas, representan carreteras secundarias.

Imagen 1

La velocidad a la que se trasladan los vehículos desde A a X y desde Y a B (carreteras amarillas, secundarias), depende mucho de la cantidad de vehículos que circulen por esa carretera. Si hay T coches, cada uno empleará un tiempo t = T/100 minutos.

Si 5000 coches quieren viajar desde A hasta B, la mitad se supone que irá de A a Y y de Y a B. La otra mitad seguirá el camino de A a X y de X a B. 

Por las autopistas, los vehiculos emplean, en cada tramo, 45 minutos. En las carreteras secundarias el tiempo será t = 2000/100 minutos.

El tiempo que emplearán será de t = 2000/100 + 45 = 65 minutos.

Los responsables del tráfico en ese país, deciden mejorar las condiciones del transporte entre A y B, para reducir el tiempo de transporte. Para ello deciden añadir un trayecto de autovía desde X a Y en el que se tarda 1 minuto

Imagen 2

Cualquier viajero que quiera ir de A a B o de B a A, en lugar de recorrer los tramos amarillos, probablemente opte por tomar el tramo de autopista entre X e Y (ver Imagen 2)

Si todos los conductores optan por la misma decisión, en el peor de los casos, tardará 4000/100 = 40 minutos desde A a X o desde B a Y.

En ambos casos, hay que sumar 1 minuto entre X e Y por la nueva autopista. En total:

40 +1+ 40 = 81 minutos

¡En total 16 minutos más que antes de la construcción de la nueva autopista!

La principal causa de los atascos es el egoísmo. Una velocidad excesiva, una velocidad anormalmente baja y los cambios de carril inadecuados se combinan para entorpecer el tráfico. El que va demasiado lento obliga a otros conductores a adelantar; el que va demasiado rápido trata de buscar hueco para seguir a su ritmo. En un mundo ideal, los conductores mantendrían una velocidad y distancia entre sí muy constantes y el tráfico fluiría. Por eso poner un carril más para mejorar el tráfico no es siempre efectivo, a veces empeora la situación, incluso con el mismo número de vehículos.  En supermercados conocidos y aeropuertos hay una sóla cola y la gente se va distribuyendo en las salidas que van quedando libres al llegar, distribuyendo los problemas de retrasos equitativamente y reduciendo el tiempo global de espera. Incluso en algunos casos eliminar un carril mejoraría la situación del tráfico, es increible pero cierto (paradógico), como ha ocurrido en ciudades como New York, Boston o London.

Todo esto forma parte de lo que se llama "Teoría de colas". Se emplea para conseguir que el tráfico en internet, las telecomunicaciones sean más rápidas, que las carreteras funcionen mejor, que cuando lleguemos a cualquier cola supermercados, aeropuertos y las fábricas, funcionen mejor...

Estos procesos o fenómenos son cadenas de Markov, es decir procesos aleatorios estocásticos  que varían con el tiempo, como lo hace el clima o los mercados de valores en bolsa,…. y no tienen memoria de lo que ha pasado anteriormente, porque lo que probablemente puede suceder ahora depende exclusivamente de la situación actual del sistema. Por eso tenemos que olvidarnos de lo que haya sucedido anteriormente a la hora de elegir la cola que creamos que es más rápida (por ejemplo en el supermercado). 

En este vídeo tenemos una buena explicación de todo este conjunto de fenómenos aleatorios.

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Y para terminar, unos consejos para elegir la mejor cola en el supermercado (aunque, probablemente pienses lo contrario):

• Mejor detrás de un comprador con 100 productos en el carro que tras 4 compradores con 25 productos cada uno.
• Escoger las filas de la izquierda.
• Fijarse en la edad del comprador (y en los productos que lleva)
• ...

La justificación de lo anterior, puedes verla en este enlace.

Dedicado a Emi Fernández.

Para saber más:

https://www.futilitycloset.com/2016/03/08/braess-paradox/

Ismael Camarero.