Música y matemáticas

Un desastre de piano

Una buena interpretación de una composición, incluso a cargo de una sola voz o de un solo instrumento, suele envolver sutiles matices, ligeras modificaciones en la duración, timbre, volumen o forma de atacar cada nota. Pero, en aras de una mayor claridad expositiva, concedámonos la libertad de simplificar al máximo, a pesar del rigor que indudablemente perderemos con ello, y pasar por alto estas sutilezas.

Supongamos, pues, que contamos con un piano en un estado realmente lamentable. Las cuerdas están afinadas, pero sólo funcionan las 24 teclas centrales, entre teclas blancas y negras (dos octavas). Los pedales tampoco funcionan y, para colmo, cada nota suena exactamente igual independientemente de la fuerza o duración que empleemos en pulsar cada tecla. Abreviando, tenemos un instrumento que al teclearlo sólo puede dar 24 sonidos distintos.

Por supuesto, la mayoría de los intérpretes rechazarían ejecutar una pieza musical con un instrumento así, incluso aunque la pieza fuera una simple melodía para la que bastasen las 24 notas con que contamos. Ahora bien, al margen de la calidad de la interpretación, estos mismos intérpretes admitirían ser capaces de tocar un sinfín de melodías lo suficientemente conocidas o populares para que el auditorio las reconociera de inmediato.

Letras y notas

Asociemos ahora a cada una de las teclas del maltrecho piano una letra, distinta en cada caso, de nuestro alfabeto, reservando el espacio en blanco para el silencio. Disponemos con ello de un simple sistema de transcripción melódica. Así, una melodía puede comenzar “KKLEK LNEK TLE...”

Por último, supongamos que las frases melódicas que el paciente auditorio es capaz de reconocer corresponden con las frases con significado y sentido en nuestra lengua. Evidentemente, este es un paso audaz que requiere un especial consentimiento. La distribución de las notas y los silencios en una composición se encuentra lejos de parecerse a la distribución de letras y espacios en una frase. Mas, sea, consintamos generosamente, a pesar del manifiesto abuso.

Atendamos ahora al público. Ante el comienzo anteriormente expuesto, el auditorio permanece impávido (tal vez confuso, tal vez horrorizado: ¿LNEK?), mientras que ante la melodía “LA LUZ AZUL ROZA...” sonríe y bate palmas.

El teorema de los infinitos monos

Si aporreamos el desastrado piano al azar, es casi seguro que el auditorio no reconocerá nada de lo que toquemos, pues difícilmente surgirán palabras inteligibles y mucho menos frases con sentido. Nos encontramos ante el “teorema de los infinitos monos” del matemático francés Émile Borel (1871-1956): letras escogidas al azar difícilmente podrán componer una obra literaria ya escrita. En nuestra versión, notas aleatorias difícilmente compondrán una melodía conocida.

La composición

Como vemos, el azar puro, incluso limitando las infinitas posibilidades reales a sólo 24 sonidos atómicos, es bastante ingobernable como proceso de creación musical. El azar en la creación artística semeja un fuerte condimento en una receta culinaria: puede darle el toque, pero no es la base. Se ha empleado el uso calculado y dirigido de alguna distribución de probabilidad como un componente en la creación de obras musicales, pero esa es otra historia (de la que hablaremos en otra ocasión).

La composición, es decir, la planificación de todos los elementos que constituyen la obra, no sólo otorga consistencia y unidad a la misma sino que además facilita el reconocimiento tanto de la obra completa como de cada una de sus partes.

Limitando el azar

La libertad de tocar cualquier tecla del lamentable piano conduce, como hemos visto, a un resultado caótico. Limitemos pues los grados de libertad.

Primero, no se podrá elegir cualquier letra (nota) sino sólo palabras (grupos de notas) de la lengua española (reconocibles). Esta limitación es muy fuerte, pues el número de palabras existentes es ridículo frente al número de variaciones posibles de letras aleatorias. No obstante, muchas melodías carecerán todavía de sentido: “PERRO LA LLOVER SIN...”

Segundo, las palabras (grupos de notas) se clasificarán y ordenarán previamente, de forma que, por ejemplo, a un artículo le sucederá un sustantivo, a este un adjetivo, a este un verbo... facilitando así la conexión entre ellas para formar una frase con sentido. En música, esta clasificación se puede establecer atendiendo especialmente a la primera y última nota del grupo, fundamentales para marcar la tonalidad y enlazar un grupo de notas con el siguiente.

Tercero (y decisivo), las palabras no pueden ser cualesquiera, sino que deben elegirse en cada caso una en una lista cerrada de posibilidades. Esto evita faltas de concordancia (como “LA PERRO”). Por ejemplo, la primera palabra sólo puede ser EL, UN, ALGÚN, OTRO, ESTE, ESE, AQUEL u otra similar.

Permutaciones

En 1974 Ernö Rubik inventa un rompecabezas que años más tarde se convierte en tal éxito de ventas a escala mundial que no necesita más presentación: su famoso cubo. El número de piezas es reducido, sólo 26, pero el número de diseños posibles es enorme: más de 43 trillones, un número de 20 cifras.

No es la primera vez que un puzzle se populariza a esta escala. Un siglo antes, una humilde cajita con 15 piezas obsesionó a europeos y americanos. Inventada por un cartero de Canastota (NY), Noyes Chapman, fue no obstante el creador de acertijos Sam Loyd quien la popularizó ofreciendo una recompensa de 1.000 dólares -de la época (1880)- a quien fuese capaz de resolverlo a partir de una posición inicial... de distinta paridad, es decir, irresoluble. (En la posición inicial de Loyd, los números 14 y 15 aparecían permutados.) El número total de posibles permutaciones -a partir de una dada- es de más de medio billón (y otro tanto para las posiciones con distinta paridad). Pulsa aquí para ver una versión interactiva.

Las recompensas continúan hoy siendo un buen reclamo publicitario. Actualmente, se ofrece un premio de dos millones de dólares a la primera persona que consiga resolver, durante este año 2008, un puzzle de 256 piezas comercializado como Eternity II. Al contrario que en el caso anterior, la existencia de solución está garantizada (incluso hay más de una, aunque muy pocas), pero el número posible de disposiciones de las piezas es inimaginable... ¡Tiene unas 600 cifras!

En los casos expuestos vemos que la clave del atractivo, premios aparte, consiste en el gran contraste entre el escaso número de piezas fácilmente manipulables y el gran número de configuraciones posibles.

Juego de dados musical

En 1787, Mozart compone Musikalisches Würfelspiel (Juego de dados musical), una pieza que tiene la particularidad de que... ¡cada vez que se interpreta nadie la había escuchado antes, ni siquiera el propio Mozart!

La obra consiste en 176 compases numerados, de los cuales todos se dedicarán a un minueto de 16 compases y 96 de ellos a un trío también de 16 compases. Complementa la obra una serie de instrucciones para la elección de los compases.

Antes de interpretar la obra... ¡hay que crear la partitura! Para ello, se deben arrojar dos dados. La suma de los puntos obtenidos, entre 2 y 12, indicará el número del primer compás del minueto según la siguiente tabla. Se vuelven a arrojar los dados, y la puntuación indicará ahora el número del segundo compás. Sucesivamente, se completarán los 16 compases que constituyen el minueto.

Minueto
	1º	2º	3º	4º	5º	6º	7º	8º	9º	10º	11º	12º	13º	14º	15º	16º
	96	22	141	41	105	122	11	30	70	121	26	9	112	49	109	14
	32	6	128	63	146	46	134	81	117	39	126	56	174	18	116	83
	69	95	158	13	153	55	110	24	66	139	15	132	73	58	145	79
	40	17	113	85	161	2	159	100	90	176	7	34	67	160	52	170
	148	74	163	45	80	97	36	107	25	143	64	125	76	136	1	93
	104	157	27	167	154	68	118	91	138	71	150	29	101	162	23	151
	152	60	171	53	99	133	21	127	16	155	57	175	43	168	89	172
	119	84	114	50	140	86	169	94	120	88	48	166	51	115	72	111
	98	142	42	156	75	129	62	123	65	77	19	82	137	38	149	8
	3	87	165	61	135	47	147	33	102	4	31	164	144	59	173	78
	54	130	10	103	28	37	106	5	35	20	108	92	12	124	44	131

Las casillas azules muestran, como ejemplo, un posible resultado de arrojar los dos dados 16 veces. En el primer lanzamiento se obtuvo una suma 2, en el segundo una suma 8, etc. Los compases correspondientes que se deben interpretar son los numerados como 96, 60, etc.

Mozart no dispuso los compases al azar, sino mediante reglas estrictas que limitan el azar suavizando el paso de unos a otros, a la vez que rigen los intervalos armónicos y la tonalidad. Por ejemplo, los compases de la primera y última columna muestran el mismo tono fundamental, y entre ambos abundan los intervalos de quinta y cuarta, lo que favorece la armonía global según los gustos de la época.

Una vez concluida la partitura del minueto, creamos la partitura del trío. El método es el mismo, salvo que ahora se arroja un solo dado al aire. La tabla correspondiente es la siguiente:

Trío
	1º	2º	3º	4º	5º	6º	7º	8º	9º	10º	11º	12º	13º	14º	15º	16º
	72	6	59	25	81	41	89	13	36	5	46	79	30	95	19	66
	56	82	42	74	14	7	26	71	76	20	64	84	8	35	47	88
	75	39	54	1	65	43	15	80	9	34	93	48	69	58	90	21
	40	73	16	68	29	55	2	61	22	67	49	77	57	87	33	10
	83	3	28	53	37	17	44	70	63	85	32	96	12	23	50	91
	18	45	62	38	4	27	52	94	11	92	24	86	51	60	78	31

La partitura resultante en nuestro ejemplo se puede ver y oír aquí. Cada uno de los 176 compases, por separado, lo puedes oír aquí.

Probabilidad

Observemos que mientras que todos los compases del trío tienen la misma probabilidad de aparecer en la partitura, no sucede igual con los compases del minueto. Al arrojar dos dados, la distribución de probabilidad de la puntuación, es decir, la serie de probabilidades de obtener cada suma, no es uniforme, pues sólo hay una forma de obtener suma 2 (1+1), mientras que existen 6 modos distintos de obtener suma 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 y 6+1).

La siguiente tabla nos muestra la probabilidad de cada puntuación al arrojar dos dados:

Suma	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Prob.	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Esto significa que los compases que aparecen asociados a una de las sumas {5, 6, 7, 8, 9} aparecerán, de media, en 2 de cada 3 compases (cuantos más minuetos generemos, más nos acercaremos a esta media).

Contando posibilidades

Calculemos cuántos minuetos y tríos distintos podemos formar. Para agilizar el cálculo, obviaremos que alguno de los 176 compases que integran Musikalisches Würfelspiel se repite, a pesar de tener distinta numeración. Esto reduce un poco el resultado que obtendremos, pero no significativamente.

Para cada minueto, existen 11 elecciones posibles del primer compás. Por cada una de ellas, otras 11 para el segundo, y así sucesivamente. Habrá por tanto 11¹⁶ minuetos posibles, casi 46 mil billones, aunque no todos con la misma probabilidad, como hemos visto.

Tenemos, de igual manera, 6¹⁶ tríos posibles, casi 3 billones, todos ellos equiprobables.

Conjuntamente, la obra minueto y trío alcanza 66¹⁶ posibilidades, un número de 30 cifras. Si cada habitante del planeta, unos 6 mil millones, interpreta una posibilidad distinta cada cinco minutos, hasta agotarlas todas, tardaríamos más de 200 billones de años (aunque es casi seguro que ni el sistema solar ni nuestra galaxia continuasen existiendo para entonces).

Ahora bien, no es lo mismo agotar todas las posibilidades que estimar qué número de interpretaciones se deben haber realizado para que sea más probable que improbable que se produzca alguna repetición. Es decir, estimar cuándo una partitura generada según las reglas del juego ya no es un estreno, sino una reposición. ¿Cómo estimar este número?

Tomado de aquí

Ismael