26 abril 2018

La trompeta de Gabriel

La trompeta, el cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli) es una figura geométrica que tiene la característica de poseer una superficie infinita pero un volumen finito.



Para tener un volumen, hemos de tener una superficie envolvente. Si la superficie envolvente es infinita, cabe deducir que el volumen contenido en su interior será también infinito... ¡Pues no!

Ideada por el italiano Evangelista Torricelli (1608-647), este objeto ha dado lugar a una paradoja interesante: 
Si queremos pintar su superficie interior (de tamaño infinito), necesitaríamos una cantidad infinita de pintura. Sin embargo, podríamos llenar su interior con algunos litros de pintura, cubriendo así su superficie.  ¡Contradicción! 
 
Torricelli, además de ser célebre por su diversidad de descubrimientos, entre ellos el barómetro, realizó el descubrimiento de este sólido llamado  la trompeta de Gabriel, que se caracteriza por tener una superficie infinita pero que encierra un volumen finito. En su tiempo fue tomado como una  paradoja increible, incluso por el propio Torrricelli.

La trompeta de Gabriel se obtiene haciendo girar la funcion

 
en torno al eje de las x:


Despues de girar la parte positiva de dicha funcion, se obtiene un llamado cuerpo de revolución: la  Trompeta de Gabriel:




 Veamos un vídeo sobre el asunto:




Sin embargo, hay algunos fallos en este razonamiento. En primer lugar, es imposible construir un artefacto semejante, ya que no hay material suficiente para ello (necesitamos infinito material), y si lo hubiese, emplearíamos un tiempo infinito. Pero aun si existiese, la capa de pintura utilizada debería tener un grosor constante y finito. Esto es imposible de lograr en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura (el extremo que queda a la derecha en la imagen anterior) no es accesible a la pintura, porque rápidamente su diámetro se hace menor al del una molécula de pintura

El diámetro interior del cuerno tiende a cero, y un matemático sabe que, cuando esto ocurre,  el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor a un valor determinado.  Las moléculas de pintura deberían ser infinitamente pequeñas, menores que el tamaño de un átomo. Y eso ¡ya no es pintura!

Esta paradoja no tiene ningún beneficio ni utilidad. Sólo... hacernos pensar. Que no es poco.

Ismael

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