22 mayo 2016

Espirógrafo: Cicloide, trocoide, hipotrocoide y epitrocoide

Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es  ::ZTFNews 


Cuando yo era niño me gustaba un tipo de dibujos a base de lineas que recorrían dando vueltas a un círculo central. Cuando fui más mayor tuve que sufrir para ser capaz de construir alguna de estas curvas en clase de dibujo. Con el tiempo, apareció en el mercado una especie de juguete llamado espirógrafo.

Espirógrafo:
 
Consta de un serie de ruedas de diferentes tamaños con diferentes orificios para el lápiz o bolígrafo, situados a distinta distancia del centro. Tiene también una serie de aros dentados de diferentes tamaños. Para dibujar una figura se deja fijo el marco exterior y se hace girar, con el lápìz en un agujero, uno de los círculos dentados por el interior del círculo dentado fijo (hipotricoide). Si el círculo móvil gira por fuera del fijo, hablamos de epitricoide. Lo que estoy describiendo es lo que podemos ver en la foto. Seguro que lo conoces...


Los dibujos que se obtienen se llaman espirogramas. Actualmente, los espirogramas se pueden dibujar con un ordenador, sin ninguna dificultad. Existen muchas aplicaciones que permiten crear verdaderas obras de arte geométricas. Algunas de las curvas que se pueden crear son:

Cicloide:

La cicloide es un tipo de curva que se construye haciendo girar un círculo sobre una recta y colocando el lápiz en el extremo del radio del circulo que gira. En Física, un cicloide es la trayectoria que describe un punto de la periferia de una rueda que gira desplazándose:




Es muy curioso, pero la forma (no el tamaño) de la cicloide no depende del tamaño del círculo giratorio. El aspecto de la curva siempre es el de la imagen, independientemente del tamaño de la rueda.


Trocoide:


La forma de construirla es diferente a la cicloide. En este caso: un círculo de radio b se hace rodar, sin que resbale, sobre una linea recta. El punto que se emplea para trazar el gráfico, no se encuentra en el borde del círculo sino a una distancia c, diferente de b (c, del centro:

 
Si el punto elegido para trazar lo situamos fuera del círculo (c>b), se obtiene:


 

Hipotrocoide:

Es la curva que se traza desde un punto situado a una distancia c del centro de un círculo móvil de radio b que rueda, sin resbalar, dentro de un círculo de radio más grande, a, fijo.



 

Epitricoide:

Curva que traza un punto situado a una distancia c del centro de radio b que gira, sin resbalar, por fuera de un círculo de radio a:




Este tipo de curvas pertenecen al llamado campo de las curvas paramétricas del cálculo integral.

El espirógrafo puede ser de muchas formas, incluso puede aprovechar la tecnología láser:

 


 
  
Y en el mar tambíen existen espirógrafos (marinos): 

   
Si viste la película de "Avatar"... pudiste ver algún espirógrafo entre la vegetación...


Para saber más:    

Si quieres ver figuras de espirogramas realmente bellos, aqui tienes una galería con varias docenas.  

Más espirogramas.  

Otra galería de espirogramas.

Curvas paramétricas  

Construye y descarga tus espirogramas.  


Ismael

14 mayo 2016

Naturaleza, números y geometría

“El arte y la arquitectura han hecho uso desde antiguo de muchas propiedades de la geometría y las matemáticas: basta con observar la refinada aplicación de las propiedades que llevaban a cabo los arquitectos del Antiguo Egipto, Grecia y Roma o los artistas del Renacimiento como Miguel Angel, Da Vinci o Rafael.  (Cristóbal Villa)

En la naturaleza puede ser observados un gran conjunto de bellas formas geométricas. Las Matemáticas han encontrado la forma de expresar con símbolos la belleza de estas formas.
Y no sólo las Matemáticas, también el vídeo.
En este breve vídeo puedes ver la enorme belleza de formas de la Naturaleza, procesadas por ordenador. 
 


Fondo musical “Often a bird” del músico y compositor belga Wim Mertens.

Aquí puedes ver imágenes del proceso de diseño del vídeo.