19 junio 2010

Otro enfoque de las Matemáticas

Resulta sorprendente, pero a veces sucede qu, cuando en el aula cambias el tipo de problemas de Matemáticas, los alumnos se sorprenden.

El físico de origen italiano  Enrico Fermii (1901-1954), quien fue una de las cabezas más visibles en el desarrollo del célebre proyecto Manhattan, que concluiría con la construcción de la primera bomba atómica, poseía una asombrosa facilidad para resolver cierto tipo de problemas, como los que os describo en el primer párrafo. Partiendo de unos datos exiguos, era capaz de obtener unas buenas estimaciones, aproximaciones asombrosamente precisas a las soluciones de los problemas planteados. En su honor, a estos problemas o cuestiones se les llama problemas de Fermi. Y para resolverlos, Fermi trataba siempre de descomponer el problema original en otros más simples, lo desmenuzaba hasta que a cada uno de estos micro-problemas le podía asignar una respuesta sencilla.

Para explicaros en qué consisten estos problemas, veamos tres ejemplos :

1. ¿Cuántos átomos hay en un cuerpo humano?
2. ¿Cuál es la longitud del pelo que hay en una cabeza humana?
3. ¿Cuánta gente hay, ahora mismo en el mundo, hurgándose la nariz?

Parecen ridículos, pero no lo son. Y tampoco tienen una solución tan trivail comopuede parecer. ¿Cómo e puede dar una solución aproximada a semejantes preguntas?
Comencemos por la primera cuestión. ¿Cuántos átomos hay en un cuerpo humano? Veamos, el cuerpo está formado por una serie más o menos diversa de elementos químicos constituyentes, pero no sabemos exactamente cuántos hay de cada tipo. Sin embargo, sí conocemos que un gran porcentaje de nuestro cuerpo es agua. Tomemos, pues, como primera aproximación que todo nuestro cuerpo es agua. Aún siendo este porcentaje del 70%, esto no quiere decir que cometamos un 30% de error, ya que justamente ese otro 30% está formado por otros átomos, aunque no sean de agua. Bien, un conocimiento básico de química nos dice que cada molécula de agua posee tres átomos: dos de hidrógeno y uno de oxígeno. El siguiente paso modesto es saber cuánto pesa una molécula de agua o, lo que es lo mismo, cada átomo que la constituye. Esto también lo aprendimos en el colegio. En un mol de agua hay el número de Avogadro (unos 602.000 trillones) de moléculas y cada mol pesa 18 gramos. Únicamente nos resta asumir un peso medio para un cuerpo humano. Pongamos 70 kg. Resulta trivial deducir que en un cuerpo humano hay, pues, unos 3900 moles de agua y, por tanto, 1028 átomos. ¡Problema resuelto!

Vamos ahora con la segunda de las cuestiones planteadas. 

Para intentar estimar la longitud total de los cabellos que pueblan una cabeza, se puede descomponer el problema en estos tres más sencillos: primero, averiguar el área del cuero cabelludo; luego, el número de cabellos por unidad de área y, finalmente, la longitud de un cabello típico

Veamos. La palma de una mano completamente extendida suele abarcar unos 20 cm. Una cabeza humana tiene un diámetro aproximado de un palmo. Si supongo que la forma de la cabeza es esférica y que el cuero cabelludo ocupa la mitad de ésta, utilizando la expresión del área de una esfera (4 veces pi por el cuadrado del radio de la misma), se obtiene que el cuero cabelludo ocupa una extensión de unos 600 centímetros cuadrados. El siguiente paso consiste en utilizar la imaginación o, alternativamente, arrancarse un par de pelos y comprobar que más o menos poseen una anchura (puesto uno a continuación del otro) de 1 mm en una regla graduada. Esto hace unos 400 cabellos por centímetro cuadrado en nuestro cuero cabelludo. Por lo tanto, multiplicando los dos números estimados hasta ahora, se tiene que en la cabeza hay unos 240.000 cabellos. Suponiendo que una mujer tiene, en promedio, su melena a la altura de los hombros y tomando para esta distancia unos 10 cm, se concluye que la longitud total de todo su cabello es de 24 km. Impresionante, ¿no?

La tercera y última cuestión es la más sorprendente:

Aún sin cámaras de vigilancia puedo saber cuántas personas aproximadamente hay en este momento buscando petróleo en sus orificios nasales. Para ello, partimos de un principio matemático bastante obvio y que dice que la fracción de tiempo que alguien emplea en una cierta actividad es igual a la fracción de gente que está realizando precisamente esa actividad en este mismo momento. Dicho más sencillamente, si yo empleo un 10% de mi tiempo en volar en avión, entonces más o menos el 10% de la población mundial estará volando en un determinado instante.

Bien, entonces la pregunta es ¿cuánto tiempo empleamos en hurgar nuestra nariz al cabo del día? ¿Diez segundos? Parece poco, ¿no creéis?. Veamos, ¿qué tal 1000 segundos? Por el contrario, parece demasiado, ¿no es cierto? Cojamos, pues, el orden de magnitud intermedio, es decir, unos 100 segundos al día (algo menos de 2 minutos). Si eliminamos de nuestro cálculo a la gente con un par de narices para compensar con los que se comen los mocos con frecuencia  y que mantienen la idea de que alimentarse de pelotillas parece ayudar al sistema inmunitario a reconocer ciertos tipos de virus y bacterias perjudiciales , simplemente podremos establecer una proporción muy simple que nos proporcionará la solución a nuestro problema planteado originalmente. El cociente entre el número de hurgadores y la población mundial (redondeando, unos 6000 millones) tiene que ser igual al cociente entre el tiempo empleado en hurgarse y la duración de un día. El resultado, asombroso, sin duda: 10 millones de personas están ahora mismo recolectando, rascándose o arrancándose pelillos molestos.

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