17 abril 2010

Moebius


Sin duda... lo que sigue es sorprendente a pesar de su antigüedad:

Vamos a trabajar con un tipo de cinta muy especial llamada banda o cinta de Moebius (o Möbius). Pero lo primero que vamos a hacer es aprender a construirla.

Construcción de una banda de Moebius

1º) Se recorta una tira rectangular de papel.




2º) Uno de los extremos se gira 180º.

3º) Los extremos libres se pegan.


Una vez que la hemos construido, el juego consiste en hacer en ella un corte longitudinal. Pero antes de darlo y darle mayor espectacularidad al juego conviene que primero pensemos qué ocurre al realizar ese corte en otras superficies relacionadas:

Cortando tiras de papel


Si tomamos una tira de papel y la cortamos longitudinalmente, ¿qué se obtiene?
Obviamente, dos tiras de papel, igual de largas que la original pero la mitad de estrechas.
Si hacemos lo mismo con otra tira de papel que previamente hemos cerrado para formar un anillo ¿qué se obtiene?

Seguro que piensas que dos anillos. ¡Bien!

Visto lo visto: ¿qué obtendremos si le damos el corte longitudinal a una cinta de Moebius?


Es fácil pensar que dos bandas de Moebius (salvo que ya conocieras la respuesta).

Cortando la banda de Moebius

Pues prueba a hacer ese corte. ¿Qué observas?

Si todo ha ido bien, y supongo que con cierta sorpresa, se verá que tras el corte se obtiene en ambos ejemplos una
única pieza, un único anillo. La cuestión ahora es ¿por qué?

Y también nos podemos preguntar: ¿Es el anillo obtenido una cinta de Moebius?

Veamos: una hoja de papel, por ejemplo, decimos que tiene
dos caras porque para pasar "de un lado al otro" debemos cruzar su borde. Pues lo que le pasa a la banda de Moebius es que no tiene dos caras sino sólo una. Para comprobarlo coge una nueva banda de Moebius en la que habrás pintado un punto de color rojo en cualquier sitio de la misma y, en lo que parece ser la otra cara, otro punto de color azul. Se trata de ver si puedo hacer un recorrido por la banda, que vaya del punto rojo al azul, pero sin cruzar el borde. Si avanzas desde el punto rojo avanzas con el dedo a lo largo de la cinta, podrás ver que, al cabo de un cierto tiempo, llegas al punto azul.

¡Y no te ha hecho falta pasar por el borde! ¡¡¡Luego se trata de una sola superficie, no de dos superficies!!!

Recuerda también que nos preguntábamos si el único anillo que surgió tras el corte era o no una nueva banda de Moebius. Para saber la respuesta mira si es un objeto con
una cara o con dos, con el método de avanzar por la cinta para ver si se puede llegar si pasar por el borde, del punto rojo al punto azul del otro lado. Podrás comprobar que no es posible, por lo que esta nueva cinta es de dos caras, así que no es una cinta de Moebius.

Para que a alguien se le ocurriera conseguir una superficie en la que "los dos lados" estén comunicados, de modo que para pasar "de un lado a otro" no haya que cruzar ningún borde, a pesar de que es tan sencillo, cuando se conoce, hubo que esperar al siglo XIX y a A. F. Moebius que fue quién la descubrió, y por eso lleva su nombre.

Aplicaciones de la banda de Moebius

¿Y sirve esta propiedad para algo más que sorprender a la gente cortándola? La respuesta es sí y de hecho se usa más de lo que crees. Piensa en una cinta que tenga que rodar sujeta por unos cilindros para pasar el movimiento giratorio de un sitio a otro (como la correa de transmisión de un coche, o la cadena de una bici). Al moverse, el rozamiento de la banda con los cilindros la va desgastando. Si ponemos una cinta a modo de cilindro (es decir, sin giro, tal y como haríamos normalmente), se desgastaría únicamente por la cara interior, quedando intacta la exterior. Pero si ponemos una banda de Moebius, después de una vuelta, pasaría a estar en contacto lo que podríamos llamar “el otro lado” (aunque sabemos que en este caso sólo hay una cara) que sería el que se rozaría en la segunda vuelta. Así conseguimos que el desgaste se produzca por los lados y la banda duraría el doble de tiempo. Esto ya se está haciendo en cintas transportadoras, cintas de grabación (que así pueden grabar por las dos caras y, en consecuencia, el doble de tiempo), etc.

Otras dos experiencias con cortes que se pueden hacer son las siguientes:

1. Corta una cinta de Moebius longitudinalmente. Corta de nuevo el anillo obtenido longitudinalmente. ¿Qué se obtiene?

2. Corta otra cinta de Moebius longitudinalmente, pero esta vez no por el centro, sino a un tercio de distancia del centro. ¿Qué se obtiene?

Curiosidad:
El logo de la marca Renault no es un rombo... es una cinta de Moebius:


Ismael

1 comentario:

Visitacion dijo...

Entretenido, fácil de comprobar, clara la explicación y la aplicación...Genial.